r和收敛半径的关系
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【r和收敛半径的关系】在数学分析中，"r"通常指级数的收敛半径，是判断幂级数收敛范围的重要参数。收敛半径决定了幂级数在复平面上的收敛区域。
| 项目 | 内容 | ||||||
| 定义 | r 是幂级数 ∑aₙ(x−x₀)ⁿ 的收敛半径，表示在 x₀ 周围以 r 为半径的区域内级数收敛。 | ||||||
| 计算方法 | 使用比值法或根值法计算：r = 1/lim sup | aₙ | ^(1/n) 或 r = lim | aₙ/aₙ₊₁ | （当极限存在时）。 | ||
| 收敛性 | 当 | x−x₀ | < r 时，级数绝对收敛；当 | x−x₀ | > r 时，级数发散；在 | x−x₀ | =r 处需单独检验。 |
| 应用 | 用于确定函数展开成幂级数的有效区间，以及分析函数的解析性质。 |
r 是理解幂级数行为的核心概念，直接影响函数的局部性质与应用范围。
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